Latest Entries »

Površinu trougla takođe možemo izračunati preko prečnika upisane ili opisane kružnice.

formula, gde je p poluobim, r poluprečnik upisane, a R poluprečnik opisane kružnice datog trougla.

111111

22222

Povrsina Trouglova

Jedan od načina na koji možemo izračunati S površinu trougla je po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): poluobim gdje je P poluobim trougla; poluobim2

Triangulo-definicion

Sada ćemo pogledati kako da izvedemo novu formulu koristeći formulu za površinu koju već poznajemo i sinusnu funkciju. Ova nova formula će nam omogućiti da nađemo površinu trougla kome ne poznajemo visinu. Takođe ćemo pogledati kada možemo koristiti ovu formulu i kako ćemo je primeniti u zadacima.

Izvođenje formule

Možemo koristiti formulu za površinu iz geometrije,povr, kao i sinusnu funkciju, da bi dobili novu formulu koja se može koristiti kada visina nije poznata.

U trouglu ABC ispod, BD je visina iz temena B na AC. Označavaćemo dužinu BD sa h obzirom da ona predstavlja visinu trougla. Takođe, označićemo ugao kod temena A sa α.

U pravouglom trouglu ABD imamo da je

odakle je

Kada to zamenimo u formuli za površinu, dobijamo:

Možemo na sličan način izvesti sva tri oblika formule za površinu, bez obzira na ugao:

Ova formula zahteva poznavanje dužina dveju stranica i njima zahvaćenog ugla u trouglu. Kada su nam poznate ova tri elementa, možemo lako izračunati površinu proizvoljnog trougla.

Primer 1: Nađimo površinu trougla na slici.

Rešenje: Upotrebićemo našu novu formulu, a poznate vrednosti ćemo samo uneti i izračunati površinu.

Primer 2: Hotel Piramida je skoro ugradio trougaoni bazen. Jedna strana bazena je duga 24 m, druga 26 m, a ugao između te dve strane je 87°. Ako menadžer hotela treba da naruči pokrivač za bazen, čija je cena 3.500 dinara po kvadratnom metru, koliki račun treba da očekuje?

Rešenje: Da bi našli cenu pokrivača, prvo moramo znati površinu pokrivača. Kada budemo znali koliko kvadratnih metara iznosi pokrivač, možemo izračunati cenu. Na slici iznad, možete videti da su nam poznate dve stranice i njima zahvaćen ugao. To znači da možemo koristiti izvedenu formulu.

Cena pokrivanja bazena će biti oko 2.180.990 dinara.

Nalaženje površine ako su date tri stranice: Heronov obrazac

Malopre smo naučili kako da nađemo površinu proizvoljnog trougla kada su nam poznate dve stranice i njima zahvaćen ugao. Takođe bismo mogli naći površinu trougla u kome su nam poznate sve tri stranice koristeći kosinusnu teoremu da bi našli jedan ugao, a onda koristeći gore izvedenu formulu. Iako je ovaj postupak tačan, predugo traje i zahteva puno računanja. Srećom, postoji još jedna formula, koja se zove Heronov obrazac, i koja nam omogućava da izračunamo površinu trougla kada su nam poznate sve tri stranice. Dobija se od gornje formule, kosinusne teoreme i veze sinusa i kosinusa, ali je prilično komplikovano, pa ga nećemo izvoditi.

Heronov obrazac glasi:

Primer 3: U trouglu ABC, a = 23, b = 46 i c = 41. Nađimo površinu trougla.

Rešenje: Prvo, moramo naći s:

Sada, zamenimo s i tri stranice u Heronov obrazac i izračunajmo.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.